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6 网络效应

吕汶桧 Wenhui Lyu

Jan. 2022

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6.1 背景问题

经济学中最经典的讨论中，市场没有网络效应。也就是说，每个人评估一个物品的价值不受他人影响。每个人只需要根据价格和自己的估值决定是否购买。但无网络效应的假设不是普遍适用的。对于某些产品，例如传真机、微信，如果使用的人不多，一个人会觉得这个产品没什么价值；随着参与人增多，其他人也纷纷被其价值吸引而参与。这就是“网络效应”。对于有网络效应的产品，产品推广、扩大用户规模具有特殊意义。

均衡求解

为了进一步分析有网络效应的市场，我们定义如下三个变量：

• 价格$p$$p$。
• 用户$x$$x$，定义在$[0,1]$$[0,1]$：一个买家在市场中的位置，其数值表示对产品的估值比$x$$x$高的人占总人数的比例。$x=0$$x=0$对应的是对产品估值最高的人，$x=1$$x=1$对应的是对产品估值最低的人。
• 预期规模$z$$z$，定义在$[0,1]$$[0,1]$：人们对于产品使用人数规模的预期。我们假定所有人的预期相等（这是市场的公共知识）。$z=0$$z=0$时，大家预期没有人会使用该产品；$z=1$$z=1$时，大家预期所有人都会使用。

为了分析用户的购买行为，我们定义如下两个函数：

• 保留价函数$r(x)$$r(x)$：无网络效应时，产品对用户$x$$x$的价值；
• 规模放大因子$f(z)$$f(z)$：当预期总人数（规模）为$z$$z$时，网络效应导致产品对用户$x$$x$的价值增加，$f(z)$$f(z)$表示增幅大小。

那么，$r(x)f(z)$$r(x)f(z)$表示在预期规模$z$$z$下产品对用户$x$$x$的价值。当且仅当$r(x)f(z)\ge p$$r(x)f(z)\geq p$时，$x$$x$会购买该产品。

在这个市场里，均衡在何处达成？

为了简化分析，设

考虑$z=0.6$$z=0.6$的情境，供需情况如下。

当$z=0.6$$z=0.6$时，实际上愿意购买产品的人达到了$0.75$$0.75$（均衡点左侧的人觉得该商品比较便宜、愿意买；右边的人不愿意买）。人们会根据实际情况调整预期，这导致$f(z)$$f(z)$的值会发生变化，$z=0.6$$z=0.6$无法达成均衡。

假设人们用上一轮的实际规模更新自己的预期，新一轮的预期规模则为$0.75$$0.75$。重新计算供需情况，我们会发现，$z=0.75$$z=0.75$同样无法达成均衡。

当预期规模$z$$z$与实际规模$\hat{z}$$\hat z$相等

时，市场的供需情况不会再发生变化，此时达成均衡。设$x_0$$x_0$是愿意购买的人中保留价最低的，即

$x_0$$x_0$的保留价最低意味着$x_0$$x_0$刚刚好愿意购买，亦即他对产品的估值恰好等于产品的定价

联立$(1)(2)(3)$$(1)(2)(3)$，得到

这一方程的解就是市场均衡。如下图所示，它一般存在两个解，不稳定均衡点${\hat{z}}^{\prime }$$\hat z’$和稳定均衡点${\hat{z}}^{″}$$\hat z’’$。

在这一分析过程中，我们看到，预期规模超过$z^{{}^{\prime }}$$z^{'}$后，实际规模会随之更高，直到二者相等（对应到上图，就是由从左到右逼近$z^{{}^{″}}$$z^{’’}$的红色箭头），达到所谓预期的自我实现（self-fulfilling）。

市场动力学：达成均衡的动态过程

现在我们更详细地考虑达成均衡的过程，在此过程中，人们根据市场情况调整预期，实际规模又随之变化，循环往复。

达成均衡的过程中，市场处在不均衡状态。在等式$(1)(2)(3)$$(1)(2)(3)$中，条件$x_0=\hat{z}$$x_0=\hat z$在非均衡情况中不成立。此时我们只需要联立$(1)(3)$$(1)(3)$，得到预期规模$z$$z$和实际规模$\hat{z}$$\hat z$的关系

此外，$z\ge 0$$z\geq 0$。那么，$z$$z$与$\hat{z}$$\hat z$的关系可以用下图表示：

根据上一节的假设，同时不妨假设人们以月为单位来观察市场并做出预测，人们对于下月市场规模的预期等于上月的实际规模

那么，市场规模的动态变化就如下图所示。

（由于人们根据上月实际规模调整预期，我们得到上月实际规模以后平行于$x$$x$轴作线，遇到$\hat{z}=z$$\hat z=z$后折返，交点所对应的横坐标等于上月实际规模，亦即下月预期规模，与$\hat{z}=g(z)$$\hat z=g(z)$的交点即为下月实际规模。）

上图的例子中，市场的动态发展趋向$\hat{z}=z$$\hat z=z$与$\hat{z}=g(z)$$\hat z=g(z)$的交点$z^{{}^{″}}$$z^{’’}$，这也是上文提到的稳定平衡点。由于$z^{{}^{\prime }}$$z^{’}$是不稳定平衡点，如果初始预期规模$z_0>z^{{}^{\prime }}$$z_0> z^{’}$，最终的均衡点都在$z^{{}^{″}}$$z^{’’}$；而如果$z_0<z^{{}^{\prime }}$$z_0<z^{’}$，市场规模会不断减小至$0$$0$。——这意味着，在有网络效应的市场中，初始规模非常重要。

那么，什么样的定价行为能最大化卖家利润呢？我们发现，当定价足够低，不稳定均衡点可能不复存在。

这种情况下，消费者的行为将推动市场自动成长，直到高端稳定均衡点。这种定价策略打开了一个市场自动成长的通道！

6.2 计算实践：网络效应下的价格策略比较

codes

6.2.1 作业描述与算法思路

在背景问题中，我们看到，对于有网络效应的产品，不同定价策略会影响市场的动态变化、影响商家的利润。本次作业，我们就是要模拟不同定价策略的效果。

考虑你开发了一个具有网络效应的信息服务产品，有如下特点

• 市场保留价函数$r(x)=1-x$$r(x)=1-x$，网络效应函数为$f(z)=1+4z^2$$f(z)=1+4z^2$，都定义在区间$[0,1]$$[0,1]$。
• 该服务拟按照以月为单位订阅的方式收费，意味着每个月你可能调整一次价格。假设潜在的用户都是在月初同步做决定，都能看到上个月的市场规模。
• 市场最初对用户规模的预期为0。
• 假设你每月服务一个用户的成本是0.2。

试模拟这个市场运行$n$$n$个月（$n=10,20,30,\dots ,100$$n=10,20,30,…,100$），观察在不同的价格$p$$p$策略下，你可能得到的利润情况：

1. 固定价格策略：固定$p=0.5$$p=0.5$。
2. 规模价格策略：假设初始价格是$0.5$$0.5$，然后让$p$$p$随市场规模的改变线性调整：$($$($本月规模$-$$-$上月规模$)>0$$)>0$，下月的$p$$p$提高$20$$20%$；$<0$$<0$，则降低$20$$20%$；$=0$$=0$，则保持。
3. 贪心策略：每个月都采用一个能带来当月最大利润的价格。
4. 试试能否考虑一个不同的策略，得到更好的结果。

我的算法思路如下：

• 首先需要定义价格函数，能根据各策略的要求返回当月价格。
• 根据当月的价格和上月规模（当月的预期规模），我们能够计算出当月的实际规模和利润，进而计算多月内的总利润。

在老师提示的三种策略中，贪心策略的算法相对复杂。

首先，我们根据市场保留价函数$r(x)=1-x$$r(x)=1-x$，网络效应函数为$f(z)=1+4z^2$$f(z)=1+4z^2$，可以求得实际规模$\hat{z}$$\hat z$与预期规模$z$$z$的关系为

我们要最大化当月利润（设为第$i$$i$月），它可以用$($$($每个人所付价钱$-$$-$服务每个人的成本$)\times$$)\times$市场规模

来表示，再代入$(a)$$(a)$，可以得到

这一函数求导，我们可以得到当$p_i=0.1+{\displaystyle \frac{1+4{\hat{z}}_{i-1}^2}{2}}$$p_i=0.1+\dfrac{1+4\hat z_{i-1}^2}{2}$时，$W(p_i)$$W(p_i)$取到最大值。贪心策略就根据这一公式返回每月的定价。

除此以外，我提出了两个新的策略。

一个策略是固定高价策略，即每个月的定价固定在$0.9$$0.9$。

另一个策略是耐心策略，作为对贪心策略的改良。贪心策略目光短浅，仅仅致力于最大化当月利润，却可能因此减小市场规模，导致长期利润大幅减少。为了避免追求最大利润时提价太多，我在确定当月价格时，计算该价格$p_i$$p_i$保持两个月后次月的利润$W_{i+1}$$W_{i+1}$，并使其最大化。

首先，次月（第$i+1$$i+1$月）的利润可以表示为

由于$i$$i$月的价格$p_i$$p_i$一直保持到$i+1$$i+1$月，$p_{i+1}=p_i$$p_{i+1}=p_i$。再代入$(a)$$(a)$，有

其中，${\hat{z}}_i=1-{\displaystyle \frac{p_i}{1+4z_{i-1}^2}}$$\hat z_i=1-\dfrac{p_i}{1+4z_{i-1}^2}$（再次代入$(a)$$(a)$）。把$W_{i+1}$$W_{i+1}$表示为关于$p_i$$p_i$的函数后，我们就可以利用scipy库，求出$W_{i+1}$$W_{i+1}$最大时的$p_i^{\ast }$$p_i^*$。

贪心策略的过幅提价在这一策略中不会发生，因为过幅提价会导致次月利润大幅减小。

此外，我还把初始阶段的价格设为$0.9$$0.9$，等市场增长到稳定均衡点后，我再确定次月利润最大时的定价。

6.2.2 编程实现与要点说明

定价函数

• 定义固定价格策略的定价函数。无论输入为何，该函数总是返回$0.5$$0.5$的固定价格。

xxxxxxxxxx
2
1
def stable_price(p0, z1, z2, rnd): 
2
    return 0.5

• 定义规模价格策略的定价函数。输入上月价格p0、上月规模z2、上上月规模z1，按照题目要求、根据两个月之间规模的变化调整价格。

xxxxxxxxxx
9
1
def scaled_price(p0, z1, z2, rnd): 
2
    if z1 == None:
3
        return 0.5
4
    elif z1 < z2:
5
        return 1.2 * p0
6
    elif z1 > z2:
7
        return 0.8 * p0
8
    else:
9
        return p0

• 定义贪心策略的定价函数。输入上月实际规模z2，返回一个能够最大化当月利润的价格。根据上文的分析，这一价格应为0.1 + (1 + z2 * z2) / 2。

xxxxxxxxxx
3
1
def venal(p0, z1, z2, rnd): 
2
    k = 1 + 4 * z2 * z2
3
    return 0.1 + k / 2

• 定义耐心策略的定价函数。

xxxxxxxxxx
1
1
def patience(p0, z1, z2, rnd):

在市场发展初期，固定价格为$0.9$$0.9$让市场规模增长到稳定均衡点。

xxxxxxxxxx
4
1
    if z1 == None:
2
        return 0.9 
3
    elif z2 > z1 and p0 == 0.9:
4
        return 0.9 # let the market grow

当市场规模达成稳定，亦即z2 == z1时，我开始提价。

这一过程中，我用到了scipy库的优化函数minimize_scalar。假定价格p保持两个月，我们可以计算出次月利润W，它的表达式如上所示。调用minimize_scalar，得到W最大时的定价res.x。

xxxxxxxxxx
6
1
    elif z2 == z1 and p0 == 0.9:
2
        ...
3
    else:
4
        W = lambda p: -1 * (p - 0.2) * (1 - p / (1 + 4 * (1 - p / (1 + 4 * z2 * z2))**2))
5
        res = minimize_scalar(W, bounds = (0,5), method='bounded')
6
        return res.x

除此以外，我还考虑了一个特殊情况：由于定价在$0.9$$0.9$时的实际市场规模很大，第一次提价时的预期市场规模也很大，即使最大化次月利润（而非像贪心策略那样最大化当月利润），提价幅度仍然有可能过大。因此，第一次提价时，我采取res.x和p0的均值。

xxxxxxxxxx
5
1
    elif z2 == z1 and p0 == 0.9:
2
        W = lambda p: -1 * (p - 0.2) * (1 - p / (1 + 4 * (1 - p / (1 + 4 * z2 * z2))**2))
3
        from scipy.optimize import minimize_scalar
4
        res = minimize_scalar(W, bounds = (0,5), method='bounded')
5
        return (res.x + p0) / 2

• 最后定义固定高价策略的定价函数。无论输入为何，该函数总是返回$0.9$$0.9$的固定价格。

xxxxxxxxxx
2
1
def stable_high_price(p0,z1,z2):
2
    return 0.9

市场模拟

为了把策略名称和定价函数整合在同一个对象中，定义一个类PriceFunc：

xxxxxxxxxx
7
1
class PriceFunc(object):
2
    def __init__(self, name, function, num):
3
        self.name = name
4
        self.function = function
5
        self.num = num
6
    def __str__(self):
7
        return self.name

在定制类PriceFunc下，定义五个实例，分别对应五个策略。

xxxxxxxxxx
5
1
funcList = [stable, scaled, venal, patient, stable_high]
2
titles = ['stable pricing','scaled pricing','venal pricing', 'patient pricing', 'stable high']
3

4
for i in range(len(funcList)):
5
    priceFunc = PriceFunc(titles[i], funcList[i], i+1)

定义一个函数profit_monthly，模拟市场每个月的动态变化，便于在采取不同策略时重复调用。

xxxxxxxxxx
1
1
def profit_monthly(priceFunc):

根据定价函数返回的每个月的定价p和上个月的规模z2，计算每月实际规模z，从而计算每月利润profit_mon和截止当月的累积利润profit_sum。

xxxxxxxxxx
21
1
    profit_sum = 0
2
    n = 0
3
    p = None
4
    z1 = None
5
    z2 = 0
6
    z_list = []
7
    p_list = []
8
    profit_mon_list = []
9
    profit_sum_list = []
10
    while True:
11
        n += 1
12
        p = priceFunc.function(p, z1, z2, n) # price of this month
13
        p_list.append(p)
14
        z = 1 - p / (1 + 4 * z2 * z2) # scale of this month
15
        z_list.append(z)
16
        profit_mon = (p - 0.2) * z
17
        profit_mon_list.append(profit_mon)
18
        profit_sum += profit_mon
19
        profit_sum_list.append(profit_sum)
20
        z1 = z2 # scale of the month before the last month
21
        z2 = z # scale of the last month

把当前定价策略下对市场的模拟输出到结果文件output.csv和控制台中。

xxxxxxxxxx
7
1
        if n % 10 == 0: # output the profit so far
2
            f.write('%.3f,' % profit_sum)
3
            print('%.3f' % profit_sum, end = '\t')
4
        if n == 100:
5
            break
6
    f.write('\n')
7
    print()

根据数据结果，调用matplotlib库画图，展示每月利润和累积利润逐月变化的趋势（ax1和ax2），以及规模和定价的变化（ax3和ax4）。

xxxxxxxxxx
33
1
    fig, (ax1,ax3) = plt.subplots(1,2)
2
    fig.suptitle(priceFunc.name)
3
    ax1.set_title('profit')
4
    ax3.set_title('scale')
5
    # the graph of how monthly profit and profit sum change over time
6
    color1 = 'tab:red'
7
    color2 = 'tab:blue'
8
    xPoints = np.array(list(range(1,101)))
9
    yPoints = np.array(profit_mon_list)
10
    ax1.plot(xPoints, yPoints, color=color1)
11
    ax1.set_xlabel('month')
12
    ax1.set_ylabel('profit mon', color=color1)
13
    ax1.tick_params(axis='y', labelcolor=color1)
14
    ax2 = ax1.twinx()
15
    ax2.set_ylabel('profit sum', color=color2)
16
    yPoints2 = np.array(profit_sum_list)
17
    ax2.plot(xPoints, yPoints2, color=color2)
18
    ax2.tick_params(axis='y', labelcolor=color2)
19
    # the graph of how the scale of the market and the price change over time
20
    yPoints3 = np.array(z_list)
21
    ax3.plot(xPoints, yPoints3, color=color1)
22
    ax3.set_xlabel('month')
23
    ax3.set_ylabel('scale', color=color1)
24
    ax3.tick_params(axis='y', labelcolor=color1)
25
    ax4 = ax3.twinx()
26
    ax4.set_ylabel('price', color=color2)
27
    yPoints4 = np.array(p_list)
28
    ax4.plot(xPoints, yPoints4, color=color2)
29
    ax4.tick_params(axis='y', labelcolor=color2)
30
    # fig.tight_layout()
31
    fig.set_size_inches(6,3)
32
    fig.tight_layout()
33
    fig.savefig('output%i_%s.png' % (priceFunc.num, priceFunc.name), dpi=300)

在逐策略调用profit_monthly之前，先在结果文件output.csv和控制台中输出表头。

xxxxxxxxxx
8
1
f = open('output.csv', 'w', encoding = 'utf-8-sig')
2
f.write('模拟进行月数,')
3
print('模拟进行月数', end = '\t')
4
for i in range(10,101,10):
5
    f.write('%i,' % i)
6
    print('%i' % i, end = '\t')
7
f.write('\n')
8
print()

逐策略调用profit_monthly函数，模拟每一定价策略下的市场变化，并输出到结果文件output.csv和控制台中。

xxxxxxxxxx
7
1
for i in range(len(funcList)):
2
    priceFunc = PriceFunc(titles[i], funcList[i], i+1)
3
    f.write('%s,' % titles[i])
4
    print('%s' % titles[i], end = '\t')
5
    profit_monthly(priceFunc)
6
    
7
f.close()

控制台的输出结果如下：

xxxxxxxxxx
6
1
>>> 模拟进行月数    10      20      30      40      50      60      70      80      90      100
2
>>> stable pricing  2.469   5.101   7.733   10.366  12.998  15.630  18.263  20.895  23.527  26.160
3
>>> scaled pricing  3.810   7.312   9.984   11.901  13.160  13.858  14.083  13.914  13.417  12.650
4
>>> venal pricing   3.294   6.822   10.350  13.878  17.406  20.934  24.463  27.991  31.519  35.047
5
>>> patient pricing 1.590   5.737   10.562  15.394  20.226  25.058  29.890  34.722  39.517  44.125
6
>>> stable high     1.590   5.737   10.562  15.394  20.226  25.058  29.890  34.722  39.554  44.387

6.2.3 结果与分析

固定价格策略

1. 优势：当价格等于0.5时，市场的成长只有一个均衡点（即$\hat{z}=z$$\hat z=z$与$\hat{z}=g(z)$$\hat z=g(z)$与 只有一个交点），市场可以自由地成长到这一点。在产品运营的前期，设定这一价格非常重要，它可以用以避免市场规模停滞在低位均衡。
2. 改进之处：当产品运营进入中期，市场规模已经较大，过早陷入低位均衡的疑虑已经可以打消，价格可以做适当提升以提高利润（不过同时也应该防止提价过高掉回低位均衡）。

贪心策略

1. 优势：能将每个月的利润最大化。
2. 改进之处：由于短视地提价，实现了每个月的利润最大化却导致市场规模变小，陷入了低位均衡。

规模价格策略

规模价格策略的表现最为糟糕。在市场规模扩大时，价格提高$20\mathrm{\%}$$20\%$，这导致下月规模缩小，价格又降低$20\mathrm{\%}$$20\%$，这又导致下月规模提高$20$$20%$，依次循环往复、来回震荡。一来一回，价格变为原先的$96\mathrm{\%}$$96\%$，价格越降越低，最后甚至在做亏本买卖。

耐心策略和固定高价策略

耐心策略的逻辑如6.2.1 作业描述与算法思路所述。耐心策略的总利润比固定价格$0.9$$0.9$更小，我们最大化次月利润来提价时，对利润的正向效果并不理想。而固定价格$0.9$$0.9$之所以效果理想，是因为这时的均衡规模恰好接近最优均衡规模（见下一策略）。

均衡情况下的最佳定价策略

班上一位同学的定价策略最为成功。如果我们只考虑最终会把市场引向均衡的定价策略，那么存在一个最佳定价策略。他在数学上做出了证明。

根据均衡求解部分的等式$(4)$$(4)$，均衡情况下有

均衡情况下，每月利润最大，总利润就最大。每月利润$W$$W$可以表示为

$W$$W$对$\hat{z}$$\hat z$求导，我们就可以得到，最大化$W$$W$时，${\hat{z}}^{\ast }\approx 0.675,p^{\ast }\approx 0.918$$\hat z^*\approx 0.675, p^*\approx0.918$。

那么，第一轮的时候，我们只需要设置$p_1$$p_1$，以使

此时，$p_1\approx 0.325$$p_1\approx0.325$。这样，第二轮起，实际规模就达到了最优值${\hat{z}}^{\ast }$$\hat z^*$。

最后一轮，我们可以再调用贪心策略。不用顾忌未来的用户规模了，就可以最后再捞一把。

具体的代码如下

xxxxxxxxxx
7
1
def best(p0, z1, z2, rnd):
2
    if rnd == 1:
3
        return 0.325
4
    elif rnd == 100:
5
        return venal(p0, z1, z2, rnd)
6
    else:
7
        return 0.918

输出结果为

xxxxxxxxxx
3
1
>>> 模拟进行月数    10      20      30      40      50      60      70      80      90      100
2
>>> ...
3
>>> best pricing    4.443   9.285   14.127  18.968  23.810  28.652  33.494  38.336  43.178  48.144

这一策略的总利润确实是最大的。

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